A continuación; te presentamos 2 demostraciones del teorema más famoso de la historia.
1. Demostración del teorema de Pitágoras por Áreas
El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas que más demostraciones tiene, aquí te presentamos una demostración geométrica muy sencilla aplicando áreas de regiones planas.
La demostración se realizará paso a paso para que pueda ser entendido fácilmente, sin embargo es necesario que se tenga conocimientos de geometría plana.
Esperamos que esta información sea de gran utilidad. ¡Tome nota!
Para esta demostración consideramos el triángulo rectángulo ABC, recto en «B».
La idea consistirá en realizar las prolongaciones de BA y BC para formar el cuadrado BPQR de lado (a+b) tal como se muestra en la figura.
Entonces área del cuadrado BPQR es:
(a+b).(a+b) = (a+b)2
También es igual a: 4S1 + S2
⇒ (a+b)2 = 4S1 + S2 ….. (1)
Donde:
- S1: Área de la región tríangular. Se han formado 4 veces S1 (sombreado de verde) debido a la congruencia.
- S2: Área de la región cuadrangular AMNC (es un cuadrado).
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Calculando: S1 y S2.
» En el triángulo ABC:
S1 = (Base x Altura)/2 = ab/2…..(2)
» El cuadrado AMNC tiene lado: “c”.
Entonces su área será:
S2 = c2 …..(3)
Luego se reemplaza (2) y (3) en (1) tenemos:
(a+b)2 = 4S1 + S2
(a+b)2 = 4(ab/2) + c2
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2
∴ a2 + b2 = c2
Queda demostrado el teorema de Pitágoras por áreas.
2. Demostración del teorema de Pitágoras por Semejanza de Triángulos
Demostraremos el Teorema de Pitágoras de forma geométrica aplicando semejanza de triángulos.
Para esta demostración consideramos un triángulo rectángulo ABC, recto en «B» donde se traza la altura BH, tal como se aprecia en la figura:
De la figura necesitamos probar que:
a2 + b2 = c2
El cual cumpliría el teorema de Pitágoras.
Bien, notamos que: ΔABC ∼ ΔAHB:
a/c = m/a
⇒ a2 = c.m …….(1)
También: ΔABC ∼ ΔBHC:
b/c = n/b
⇒ b2 = c.n …….(2)
Sumamos (1) y (2), tenemos:
a2 + b2 = c.m + cn
⇒ a2 + b2 = c(m + n)
Pero: m+ n = c
∴ a2 + b2 = c2
Así se concluye con esta sencilla demostración del teorema de Pitágoras.
Esta demostración también equivale a haber realizado un traslado de áreas; es decir, las áreas de los dos cuadrados que se forman en los catetos pasan a formar el área del cuadrado de la hipotenusa.
Tal como se muestra en la siguiente figura geométrica.
