¿Qué es el teorema de Pitágoras?
El Teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo mediante el siguiente enunciado:
«En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos».
Si las longitudes de los catetos son “a” y “b”; y la hipotenusa es “c”, entonces se cumple la siguiente fórmula de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
En forma gráfica:
¡Nota!
Las culturas orientales conocieron las propiedades de dos triángulos rectángulos cuyas medidas de lados son: 3 — 4 — 5 y 5 — 12 — 13.
Sin embargo, se admite que fue Pitágoras quien generalizó y encontró la relación constante entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras establece cómo están relacionados los tres lados de un triángulo rectángulo mediante la ecuación matemática:
c2 = a2 + b2
De esta ecuación pitagórica se deducen las siguientes fórmulas:
Estas fórmulas del teorema de Pitágoras se emplean para calcular el cateto o la hipotenusa. Sin embargo, se recomienda tener presente la definición del teorema de Pitágoras y no depender de ellas, pues conociendo: c2 = a2 + b2 (a y b son los catetos y c la hipotenusa) sería suficiente para poder aplicarlo en los ejercicios del teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras nos permite calcular casi inmediatamente y sin esfuerzo la longitud de un lado del triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados.
Ejemplo:
Supongamos que a = 3 y b = 4 (catetos) y se quiere hallar la hipotenusa.
Aplicamos la fórmula del teorema de Pitágoras:
c² = a² + b²
Reemplazando y resolviendo:
⇒ c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
∴ c = 5
Este es el famoso triángulo rectángulo de lados: «3 — 4 — 5«, omnipresente en las clases de matemáticas de la escuela, y el ejemplo más simple de una terna pitagórica: «un conjunto de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras».
A continuación, veremos aplicaciones del teorema de Pitágoras.
Ejemplos del Teorema de Pitágoras
Aplicar el teorema de Pitágoras en los problemas es fácil. Aprenda cómo hacerlo con estos ejemplos.
Ejemplo 01
Del triángulo mostrado, calcular el valor del cateto BC.
Resolución:
Sea: «x» es la longitud del cateto BC del ΔABC y además se conocen los otros dos lados.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
12 + x2 = 22
x2 = 22 – 12
x2 = 3
x = ±√3
Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.
∴ x = √3m
Ejemplo 02
En la figura, a qué distancia está el bote del faro?.
Resolución:
Si reducimos la figura a un triángulo rectángulo tendríamos:
Lo que nos piden es el valor de la hipotenusa: «x».
Aplicamos el teorema de pitágoras:
c2 = a2 + b2
x2 = 1602 + 1202
⇒ x = 200
∴ La distancia del bote al faro es 200m
Ejemplo 03
Calcular el valor del cateto BC, si el triángulo ABC es isósceles.
Resolución:
Sea la medida del lado BC = «x» = AB, graficamos el triángulo rectángulo AHB.
Se observa: AH = HB por ser triángulo isósceles.
Aplicamos el teorema de pitágoras:
c2 = a2 + b2
x2 = 32 + 32
x2 = 2(32)
⇒ x = 3√2
Luego la medida del lado AB es 3√2m
x = ±√3
Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.
∴ x = √3m
Ejemplo 04
En el triángulo mostrado calcular el lado BC si cada cuadricula es 1 x 1.
Resolución:
Para hallar BC podemos formar un triángulo rectángulo, trazando la altura relativa a a AC, observe:
En el triangulo rectángulo sombreado, BC es la hipotenusa y conocemos los catetos.
Aplicación del teorema de Pitágoras:
BC² = 5² + 7²
BC² = 84
∴ BC = 2√21u
