TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece como están relacionados los tres lados de un triángulo rectángulo mediante una bella ecuación, una de las más importantes dentro del campo de las matemáticas y de la historia.






DEFINICIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS


El Teorema de Pítágoras define que:

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de las longitudes de los catetos".

Es decir, si las longitudes de los catetos son “a” y “b”; y la hipotenusa “c”, entonces se cumple la siguiente ecuación:

c2 = a2 + b2

Gráficamente:

Definición, concepto del teorema de Pitágoras


El teorema de Pitágoras establece cómo están relacionados los tres lados en un triangulo_rectangulo mediante una ecuación matemática. De la ecuación del teorema de Pitágoras también se deducen las siguientes fórmulas:

colorarios de la ecuación del teorema de pitágoras

Estas fórmulas deben emplearse dependiendo que se pregunte en los problemas. Se recomienda tener presente la definición del teorema y no depender mucho de ellos.

El teorema de Pitágoras nos permite calcular de manera casi inmediata la longitud de un lado del triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados.

Por ejemplo, supongamos que a = 3 y b = 4.
Aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras:


entonces c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
por lo tanto c = 5

Este es el famoso triángulo rectángulo de lados: "3 - 4 - 5", omnipresente en las clases de matemáticas de la escuela, y el ejemplo más simple de una terna pitagórica: un conjunto de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras.

Veamos a continuación más ejemplos aplicativos al teorema de Pitágoras.




EJEMPLOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS


La aplicación del teorema de Pitágoras a los problemas es muy fácil. Aprenda con estos ejemplos cómo se cálcula un lado del triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados.

Ejemplo 01

Del triángulo mostrado, calcular el valor del cateto BC.

Ejercicio N° 01

Resolución

"x" es un cateto del triángulo rectánguloABC y se conoce los otros dos lados. Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras:

a2 + b2 = c2
12 + x2 = 22
x2 = 22 - 12
x2 = 3
x = ±√3

Se toma el valor positivo. No existe longitud negativa.
por lo tanto x = √3m

Ejemplo 02

En la figura, a qué distancia está el bote del faro?.

Ejercicio N° 02

Resolución

Si reducimos la figura a un triángulo rectángulo tendríamos:

resolución del ejemplo 2

Se observa en el triángulo rectángulo que se pide la hipotenusa de longitud "x".
Aplicamos el teorema de pitágoras:

c2 = a2 + b2
x2 = 1602 + 1202
x = 200

por lo tanto La distancia del bote al faro es 200m


Ejemplo 03

En la figura, el triángulo rectángulo ABC es isósceles.
Calcular la longitud del lado AB.

Ejercicio N° 03

Resolución

Sea la medida del segmento AB = "x", graficamos el triángulo rectángulo AHB.

resolución del ejemplo 3

Se observa que:
segmento AH = segmento HB; por ser isósceles.

La longitud pedida será la hipotenusa: "x". Entonces aplicamos el teorema de pitágoras:

c2 = a2 + b2
x2 = 32 + 32
x2 = 2(32)
x = 3√2

por lo tanto La medida de lado AB es 3√2m




RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS


El recíproco del teorema de Pitágoras sería lo inverso del teorema de Pitágoras, veamos:

“Si en un triángulo se cumple que las longitudes de los lados a, b y c; están relacionados mediante la siguiente ecuación:

a2 + b2 = c2

; donde: a < c ; b < c

entonces El triángulo es un TRIÁNGULO RECTÁNGULO, recto en el ángulo opuesto al lado mayor".

Gráficamente:

Figura donde se muestra el Recíproco del teorema de pitágoras


Ejemplo:

Calcular el ángulo de mayor medida en un triángulo, sabiendo que las longitudes de los lados son: 5, 12 y 13.

Resolución

Contruimos el triángulo del enunciado.

ejemplo de triángulo recíproco

Se nota que: 5 < 12 < 13

Por propiedad de los triángulos: "a lado mayor, se le opone ángulo mayor".
Del gráfico el lado mayor es 13u, entonces el ángulo de mayor medida será "x".

También, en el triángulo se cumple: 132 = 52 + 122 (teorema de Pitágoras).

por lo tanto El ángulo x será: 90°.




IMPORTANCIA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS


El teorema de Pitágoras ha sido y es actualmente importante en nuestras vidas por muchas razones. Por ejemplo, en la época antigua la navegación se llevaba a cabo gracias a cálculos en desuso: mirando las estrellas y siguiendo la línea de la costa.

El teorema de Pitágoras cambió todo eso. Puso a la humanidad en la senda para la comprensión actual de la geografía de nuestro planeta y su lugar en el Sistema Solar.

Fue un primer paso vital hacia las técnicas geométricas necesarias para la cartografía, la navegación y la topografía. También proporcionó una vital relación entre la geometría, trigonometría y el álgebra.

El teorema de Pitágoras abrió por completo nuevas direcciones para la exploración humana, tanto metafóricamente como literalmente. Reveló la forma de nuestro mundo y su lugar en el universo. Muchos de los triángulos que nos encontramos en la vida real no son rectángulos, de manera que las aplicaciones directas de la ecuación podrían parecer limitadas. Sin embargo, cualquier triángulo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, y cualquier forma poligonal se puede dividir en triángulos.


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El teorema de Pitágoras es muy importante en el cálculo de distancia. Solo hay que buscar el triángulo rectángulo para aplicarlo.

Así que los triángulos rectángulos son la clave, prueban que hay una relación útil entre la forma de un triángulo y la longitud de sus lados. La materia que se desarrolló a partir de esta visión es la trigonometría, que significa «medición de triángulos».

El teorema de Pitágoras fue también fundamental para la invención de la geometría analítica. Este es un modo de representar figuras geométricas en términos numéricos, usando un sistema de rectas conocidas como ejes, que se etiquetan con números. La versión más popular es conocida como coordenadas cartesianas en el plano, en honor al matemático y filósofo francés René Descartes, que fue uno de los grandes pioneros en esta área, aunque no el primero.

Entonces, el teorema de Pitágoras es importante por sí solo, pero ejerce incluso más influencia a través de sus generalizaciones. La prueba del teorema de Pitágoras en los Elementos de Euclides coloca al teorema como pilar de la geometría.

Es una progresión de los eventos sorprendente. Primero surgió el teorema de Pitágoras hace alrededor de 3.500 años para medir la tierra de los campesinos. Su extensión a triángulos no rectángulos y a triángulos en la esfera nos permitió hacer mapas de nuestros continentes y medir nuestro planeta. Y una egregia generalización nos permitió medir la forma del universo. Las grandes ideas a veces tienen comienzos humildes.