DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Tres Demostraciones del teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas que más demostraciones tiene, aquí se presentan tres formas geométricas distintas de demostrar el teorema.




Introducción


Se cree que fue el matemático griego Pitágoras el primero en demostrar tan famoso teorema, posteriormente han surgido muchas demostraciones por diversos métodos, hay autores que incluso atribuyen más de 400 demostraciones posibles.

Para demostrar el teorema de Pitágoras no es necesario tener grandes conocimientos de matemáticas, por el contrario, sólo se requiere tener algunos conceptos básicos de Geometría y Álgebra para demostrarlo muy fácilmente.

A continuación, veremos la definición del teorema de Pitágoras y seguidamente ahondaremos en las tres demostraciones que se ha propuesto presentar.




EL TEOREMA DE PITÁGORAS


El Teorema de Pítágoras indica que:

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos".

Es decir, si las medidas de los catetos son “a”, “b” y de la hipotenusa “c”, entonces se cumple la siguiente fórmula:

a2 + b2 = c2

Graficámente:

Definición gráfica del Teorema de Pitágoras

Basándonos en esta definición del teorema de Pitágoras demostraremos en cada uno de los casos la ecuación matemática: a2 + b2 = c2.




DEMOSTRACIÓN N° 1 DEL TEOREMA DE PITÁGORAS



La primera demostración se realizará por semejanza de triángulos. Para ello en un triángulo rectánguloABC trazamos la altura Segmento BH, obteniéndose la figura que se muestra a continuación:

Demostración del teorema de Pitágoras por semejanza de triángulos

Notamos que: triángulo rectánguloABC triángulo rectánguloAHB:

semejanza 1

Operando se tiene: a2 = c.m .......(1)

También:  triángulo rectánguloABC símbolo de semejanza de triángulos triángulo rectánguloBHC:

semejanza 2

Operando se tiene: b2 = c.n .......(2)

Sumando (1) y (2):

a2 + b2 = cm + cn = c(m + n)

De la figura: segmento AC = m + n = c

Reemplazando tenemos:


por lo tanto a2 + b2 = c2

Así se concluye con la primera demostración del teorema de Pitágoras por semejanza de triángulos.

Esta demostración significa en realidad haber realizado un traslado de áreas. Las áreas de los dos cuadrados que se forman en los catetos pasan a formar el área del cuadrado de la hipotenusa.
Tal como se muestra en la siguiente figura geométrica.

Figura demostración N°1





DEMOSTRACIÓN N° 2 DEL TEOREMA DE PITÁGORAS



La segunda demostración se realizará por áreas. Nos basaremos nuevamente en el triángulo rectánguloABC de catetos "a" y "b" e hipotenusa "c"; y construimos un cuadrado de lado “a+b”, resultando la siguiente figura:

Figura demostraciones N° 2



Analizamos el cuadrado BPQR y las figuras geométricas que se han formado en su interior. Detallamos:

i) El área de la región cuadrangular BPQR es:
       (a+b).(a+b) = (a+b)2

ii) El área del cuadrado BPQR es también: 4S1 + S2

Donde:
S1: Área de la región tríangular (son 4 veces S1 debido a la congruencia de triángulos)
S2: Área de la región cuadrangular AMNC(un cuadrado).

      entonces (a+b)2 = 4S1 + S2 ..... (1)

Calculando: S1 y S2.

área de la región triangular.

» Del gráfico: S1 = ab/2.....(2)

» El cuadrado AMNC tiene lado: “c”.
Entonces su área será: S2 = c2 .....(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) tenemos:

(a+b)2 = 4S1 + S2
(a+b)2 = 4(ab/2) + c2
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2

por lo tanto a2 + b2 = c2


Así queda demostrado el teorema de Pitágoras por áreas.




DEMOSTRACIÓN N° 3 DEL TEOREMA DE PITÁGORAS



La tercera demostración se realizará también por áreas. Como referencia, tomaremos de la "figura: demostración N°2" al cuadrilátero BPMC.

Teniendo la siguiente figura:

Gráfico de la Demostración N° 3 del Teorema de Pitágoras

Notamos que el cuadrilátero BPMC es un trapecio. Además, conociendo las bases y la altura, podemos calcular el área en función de ellos, sería:

Área del trapecio BPMC

Visualmente también tenemos:

También el área del trapecio BPMC.

Igualando (1) y (2):

Igualando las áreas de los trapecios

Pero S1 y S2 se conocen de la "Demostración N° 2", entonces reemplazando tenemos:

Reemplanzando los valores de a,b y c en la ecuación


Simplificando la ecuación, tenemos:

(a+b)2 = 2ab + c2
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2

por lo tanto a2 + b2 = c2


Se ha culminado así con la tercera y última demostración por áreas.

Esperamos que las tres demostraciones hayan sido del agrado del lector.