El Teorema de Pitágoras

El teorema más famoso y antiguo de la historia presentado en una sola página.
Aquí podrás conocer a detalle definiciones, ejemplos, ejercicios resueltos, demostraciones geométricas, gráficos, biografía de Pitágoras y más sobre este importante tema.

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras relaciona los lados del triángulo rectángulo en una bella ecuación.

Antes de iniciar nuestro tema, definamos qué es un Teorema?. "Teorema" es toda proposición matemática demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas. De todos los teoremas conocidos hasta hoy, el Teorema de Pitágoras es el más estudiado y demostrado.

El teorema de Pitágoras nos dice que en todo triángulo rectángulo:
"El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos".
Es decir, si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo son "a" y "b"; y de la hipotenusa "c", entonces se debe cumplir:

a2 + b2 = c2


Gráficamente sería:

Graficámente el teorema de Pitágoras

El "Teorema de Pitágoras" es una ecuación universal que se estudia en las asignaturas de matemáticas, especialmente en Geometría y Trigonometría.

El teorema de Pitágoras sólo se cumple en un triángulo rectángulo; pero, qué es el triángulo rectángulo?, qué propiedades tiene?.
A continuación veremos la teoría sobre esta importante figura geométrica.



Triángulo Rectángulo

Es aquel triángulo que tiene al ángulo interior recto (90°). Aquí se cumple el teorema de Pitágoras y las propidades que se muestran en las siguientes figuras.

Definición del triángulo rectángulo

Los catetos lo definimos como los lados del triángulo que forman al ángulo recto (90°) y la hipotenusa es siempre el lado opuesto del ángulo recto o el mayor lado del triángulo.


Propiedades del triángulo rectángulo, se observa los catetos e hipotenusa.



Ejemplos

Ejemplo 01:

De la Figura mostrada, calcular

Ejemplo del teorema de Pitágoras N° 01

Resolución:

Nos piden el cateto: , es decir: "x". Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

32 + x2 = 52
x2 = 52 - 32
x2 = 16
x = ± 4

Elegimos el valor positivo debido a que no existe segmento negativo.

= x = 4u.

Ejemplo 02:

En la figura, el ABC es isósceles. Calcular .

Ejemplo del teorema de Pitágoras N°02

Resolución:

Deducimos del dato, que el AHB también es isósceles. Entonces: = 3.
Luego en el AHB aplicamos el teorema de Pitágoras.

32 + 32 = x2
x2 = 2.32
x = ± 3√2

= x = 3√2u

Propiedades del triángulo de pitágoras

Observación:

Sí en el triángulo mostrado se conoce los lados y se cumple:

a2 + b2 = c2

Entonces tendríamos un triángulo rectángulo, recto en "B". Es decir, el ángulo "x" es 90°.
Esto sería el inverso del teorema de Pitágoras.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA

El Teorema de Pitágoras es el que más demostraciones tiene. Aquí te mostraremos tres de ellas.

Demostración N° 1

Esta demostración se realizará por semejanza de triángulos. Para ello en un ABC trazamos la altura , obteniendo la figura que se muestra a continuación:


Primera Demostración del teorema de Pitágoras, por semejanza de triángulos.

Notamos que:
triánguloABC Símbolo de semejanza. triánguloAHB, entonces:

Semejanza entre dos triángulos

Operando se tiene: a2 = m.c .......(1)
También:  triánguloABC símbolo de semejanza de triángulos triánguloBHC

Semejanza entre dos triángulos

Operando tenemos: b2 = n.c .......(2)

Sumando (1) y (2):

a2 + b2 = mc + nc = c(m + n)

De la figura: m + n = c

a2 + b2 = c2

Así pués, se ha demostrado el teorema de Pitágoras por semejanza de triángulos.



Demostración N° 2

La segunda demostración se realizará por áreas, para ello basándonos en el ABC construiremos un cuadrado de lado “a+b”, resultando la siguiente figura:

Segunda demostración del teorema de Pitágoras, por áreas.


Analizamos el cuadrado BPQR y las figuras geométricas que se han formado en su interior. Detallamos a continuación:

i) El área del cuadrado BPQR es igual a: 4S1 + S2 .... (*)

ii) El área del cuadrado BPQR es: (a+b)2 .....(1)

Área de un triángulo rectángulo

iii) Existen 4 triángulos rectángulos congruentes de área: S1.
Entonces: 4S1 = 2ab .....(2)

Área del cuadrado

iv) El cuadrilátero de color rojo es un cuadrado de lado: “c”.
Entonces el área será: S2 = c2 .....(3)

Reemplazando (1), (2), (3) en (*), tenemos:

(a+b)2 = 4S1 + S2
(a+b)2 = 2ab + c2
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Así pués, se ha demostrado el teorema de Pitágoras por áreas.



Demostración N° 3

Esta demostración también se realizará por áreas y para ello utilizaremos el gráfico anterior “figura: Demostración 02” donde extraeremos el cuadrilátero BPMC. Obteniendo la siguiente figura :

Tercera demostración del teorema de Pitágoras, por áreas usando un trapecio.


Notamos que el cuadrilátero BPMC es un trapecio. Además, conociendo las bases y la altura, podemos calcular el área en función de ellos, sería:

Visualmente también tenemos:

Igualando (1) y (2):

Recordar que: S1 y S2 lo tenemos de la "Demostración N° 2", reemplazando tenemos:

Eliminamos el denominador común, tenemos:

(a+b)2 = 2ab + c2
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Se ha concluido con las tres demostraciones que nos habiamos propuesto. En la opción de videos tendrás una animación de la demostración que puede interesarte.


Triángulo Rectángulo Notable


Un triángulo rectángulo notable se caracteriza por tener una razón proporcional entre sus lados y ángulos internos conocidos. Sólo existen dos triángulos rectángulos notables, que son: "30° y 60°"; y "45°".

Se conocen otros triángulos rectángulos como: 37° y 53°, 16° y 74°, 15° y 75°, etc. A ellos se les conoce como triángulos rectángulos notables de medidas aproximadas y se utilizan con fines prácticos.

Triángulo rectángulo notable de 30°, 60° y 45°

EJERCICIOS RESUELTOS

Aprenda aplicar el teorema de Pitágoras con ejercicios resueltos paso a paso.


En esta sección veremos una serie de ejercicios aplicativos al teorema de Pitágoras. Se ha seleccionado cada ejercicio para aplicar algún método de resolución distinto y ver algunos problemas típicos de la vida diaria.
Así mismo los ejercicios se han separado por niveles: básico, intermedio y avanzado para fines de aprendizaje.

  • Ejercicio 01:

    Gráfica un triángulo rectángulo y calcula la hipotenusa, si los catetos miden 1,2m y 1,8m respectivamente.
    Resolución del ejercicio

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 02:

    Calcular la altura de un triángulo equilátero, si la longitud de su lado es 4m. Resolución del ejercicio

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 03:

    Un faro de 25m de altura detecta un bote a unos 100m. Se pide calcular la distancia desde el pie del faro hasta el bote. Resolución del ejercicio

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 04:

    Calcular la altura de un trapecio isósceles si las bases miden 8m y 16m respectivamente y además el perímetro es 36m. Portfolio Image

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 05:

    Una escalera mide 4m y se apoya sobre una pared, tal como se muestra en la figura. Calcular la distancia del pie de la escalera hacía la pared. Ejercicio resuelto N° 05

    Ejercicio Resuelto

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  • Ejercicio 06:

    En la figura mostrada calcular el segmento MC. Gráfico del Ejercicio N° 06

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 07:

    Calcular el área del tronco del cono cuyos radios de bases son 2cm y 3cm respectivamente, si la suma del área de las bases es igual al área lateral del cono.
    Resolución del ejercicio

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 08:

    Alex ha comprado una caña de pescar de 3,25 metros de largo. Cuando llega a su departamento intenta meterla por el ascensor, cuyas medidas son 1,5 metros de ancho, 1,8 metros de fondo y 2,3 metros de alto. ¿Conseguirá Alex meter la caña sin doblarla?
    Resolución del ejercicio

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución
  • Ejercicio 09:

    Desde un punto “P” exterior un plano Q se traza un segmento perpendicular de 10m de longitud, cuyo pie es el punto de intersección de las diagonales de un rectángulo que tiene por largo el doble de su ancho. Si desde “P” se traza un segmento oblicuo de 2√30m de longitud a un vértice del rectángulo. ¿Calcular cuánto mide el perímetro del rectángulo?.
    Resolución del ejercicio

    Ejercicio Resuelto

    Ver Resolución

BIOGRAFÍA DE PITÁGORAS

  • Biografía de Pitagoras de Samos

    « Pitágoras es famoso por el teorema que lo inmortalizo; sin embargo, dicho teorema ya era conocido por los babilonios 1000 años antes. Pero puede haber sido Pitágoras el primero en demostrarlo ».

    Pitágoras de Samos
    ( 572 a.C - 497 a.C.)

Pitágoras se describe a menudo como el primer matemático puro. Él es una figura extremadamente importante en el desarrollo de las matemáticas, pero sabemos relativamente poco sobre sus logros matemáticos.

Pitágoras

A diferencia de muchos matemáticos griegos posteriores, donde al menos tenemos algunos de los libros que escribieron, no tenemos nada de los escritos de Pitágoras. La sociedad que dirigió, mitad religiosa y mitad científica, siguió un código de secreto que ciertamente significa que hoy Pitágoras es una figura misteriosa.

Tenemos detalles de la vida de Pitágoras a partir de las primeras biografías que usan fuentes originales importantes, pero están escritos por autores que le atribuyen poderes divinos, y cuyo objetivo era presentarlo como una figura divina. Lo que presentamos a continuación es un intento de reunir las fuentes más confiables para reconstruir una cuenta de la vida de Pitágoras.

Existe un acuerdo bastante bueno sobre los principales acontecimientos de su vida, pero la mayoría de las fechas se discuten con diferentes académicos que dan fechas que difieren en 20 años. Algunos historiadores tratan esta información como meras leyendas, pero, incluso si el lector la trata de esta manera, ser un registro tan temprano tiene una importancia histórica.

Había, entre sus maestros, tres filósofos que iban a influir en Pitágoras cuando era joven. Uno de los más importantes fue Pherekydes, que muchos describen como el maestro de Pitágoras.
Los otros dos filósofos que iban a influir en Pitágoras, y presentarle ideas matemáticas, fueron Thales y su discípulo Anaximandro, que vivían en Mileto.

Se dice que Pitágoras visitó a Thales en Mileto cuando tenía entre 18 y 20 años. Para entonces, Thales era un hombre viejo y, aunque creó una fuerte impresión en Pitágoras, probablemente no le enseñó mucho. Sin embargo, sí contribuyó al interés de Pitágoras en las matemáticas y la astronomía, y le aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estos temas.

Pitágoras enseñando en su escuela

Alrededor del año 535 a.C., Pitágoras se fue a Egipto. Esto sucedió unos años después de que el tirano Polycrates tomara el control de la ciudad de Samos.
Las cuentas del tiempo de Pitágoras en Egipto sugieren que visitó muchos de los templos y participó en muchas discusiones con los sacerdotes. De acuerdo con Porphyry, a Pitágoras se le negó la admisión a todos los templos excepto el de Diospolis, donde fue aceptado en el sacerdocio después de completar los ritos necesarios para la admisión.

No es difícil relacionar muchas de las creencias de Pitágoras, las que luego impondrá a la sociedad que estableció en Italia, a las costumbres que encontró en Egipto. Por ejemplo, el secreto de los sacerdotes egipcios, su negativa a comer frijoles, su negativa a usar incluso telas hechas con pieles de animales y su lucha por la pureza eran todas costumbres que Pitágoras adoptaría más adelante. Pórfido, dice que Pitágoras aprendió la geometría de los egipcios, pero es probable que ya estuviera familiarizado con la geometría, sin duda después de las enseñanzas de Thales y Anaximandro.

Aproximadamente 520 a.C., Pitágoras abandonó Babilonia y regresó a Samos. Polycrates había sido asesinado alrededor del 522 a.C. La muerte del gobernante puede haber sido un factor en el regreso de Pitágoras a Samos, pero no se explica cómo Pitágoras obtuvo su libertad. Darío de Persia había tomado el control de Samos después de la muerte de Polycrates y él habría controlado la isla en el regreso de Pitágoras.

Esto entra en conflicto con las cuentas de Porphyry y Diogenes Laertius que afirman que Polycrates todavía estaba en control de Samos cuando Pitágoras regresó allí.

Pitágoras dejó Samos y se fue al sur de Italia alrededor del año 518 a.C. (algunos dicen que mucho antes). Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Croton (ahora Crotone, en el este del talón del sur de Italia) que tuvo muchos seguidores.
Pitágoras era el jefe de la sociedad con un círculo interno de seguidores conocido como mathematikoi. Los mathematikoi vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Ellos fueron enseñados por el mismo Pitágoras y obedecieron reglas estrictas. Las creencias que Pitágoras sostuvo eran:

(1) que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática,
(2) que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual,
(3) que el alma puede elevarse a la unión con lo divino,
(4) que ciertos símbolos tienen un místico importancia, y
(5) que todos los hermanos de la orden deben observar estricta lealtad y secreto.


Los Pitágoricos

Tanto a hombres como a mujeres se les permitió convertirse en miembros de la Sociedad, de hecho varias mujeres pitagóricas posteriores se convirtieron en filósofos famosos. El círculo exterior de la Sociedad era conocido como la astronomía y vivían en sus propias casas, viniendo solamente a la Sociedad durante el día. Se les permitieron sus propias posesiones y no se les exigió ser vegetarianos.

De la obra real de Pitágoras, nada se sabe. Su escuela practicaba el secreto y el comunalismo, lo que dificultaba distinguir entre la obra de Pitágoras y la de sus seguidores. Ciertamente, su escuela hizo contribuciones sobresalientes a las matemáticas, y es posible estar bastante seguro acerca de algunas de las contribuciones matemáticas de Pitágoras. Primero, deberíamos tener claro en qué sentido Pitágoras y los mathematikoi estudiaban las matemáticas. No estaban actuando como lo hace un grupo de investigación matemática en una universidad moderna u otra institución. No hubo 'problemas abiertos' para que resolvieran, y no estaban en ningún sentido interesados ​​en intentar formular o resolver problemas matemáticos.

Pitágoras estudió las propiedades de los números que serían familiares para los matemáticos de hoy en día, como números pares e impares, números triangulares , números perfectos, etc. Sin embargo, para los números de Pitágoras había personalidades que apenas reconocemos como matemáticas hoy en día:

Cada número tenía su propia personalidad: masculino o femenino, perfecto o incompleto, bello o feo. Este sentimiento de las matemáticas modernas ha eliminado deliberadamente, pero todavía encontramos matices de él en la ficción y la poesía. Diez era el mejor número: contenía en sí mismo los primeros cuatro enteros: uno, dos, tres y cuatro [1 + 2 + 3 + 4 = 10] , y estos escritos en notación de puntos formaban un triángulo perfecto.

Por supuesto, hoy recordamos especialmente a Pitágoras por su famoso teorema de geometría. Aunque el teorema, ahora conocido como el teorema de Pitágoras, era conocido por los babilonios 1000 años antes, puede haber sido el primero en demostrarlo.
Proclus , el último gran filósofo griego, que vivió alrededor del 450 DC escribió:

Después de (Thales , etc.), Pitágoras transformó el estudio de la geometría en una educación liberal, examinando los principios de la ciencia desde el principio y explorando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual: fue él quien descubrió la teoría de lo irracional y la construcción de las figuras cósmicas.

El historiador en matemáticas, Thomas Heath da una lista de teoremas atribuidos a Pitágoras, o más generalmente a los pitagóricos, ellos son:

(i) La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. También los pitagóricos conocían la generalización que establece que un polígono con "n" lados tiene suma de ángulos interiores 2n - 4 ángulos rectos y suma de ángulos exteriores igual a cuatro ángulos rectos.

Famoso teorema de Pitágoras

(ii) El teorema de Pitágoras: para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Deberíamos notar aquí que para Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa ciertamente no se consideraría como un número multiplicado por sí mismo, sino más bien como un cuadrado geométrico construido en el costado. Decir que la suma de dos cuadrados es igual a un tercer cuadrado significaba que los dos cuadrados podían cortarse y volverse a ensamblar para formar un cuadrado idéntico al tercer cuadrado.

(iii) Construcción de figuras de un área determinada y álgebra geométrica. Por ejemplo, resolvieron ecuaciones como: a(a - x) = x2 por medios geométricos.

(iv) El descubrimiento de irracionales. Esto ciertamente se atribuye a los pitagóricos, pero parece poco probable que se haya debido al propio Pitágoras. Esto iba en contra de la filosofía de Pitágoras: todas las cosas son números, ya que por un número se refería a la razón de dos números enteros. Sin embargo, debido a su creencia de que todas las cosas son números, sería una tarea natural tratar de demostrar que la hipotenusa de un triángulo isósceles en ángulo recto tenía una longitud correspondiente a un número.

(v) Los cinco sólidos regulares. Se cree que el propio Pitágoras sabía cómo construir los tres primeros, pero es poco probable que hubiera sabido cómo construir los otros dos.

(vi) En astronomía, Pitágoras enseñó que la Tierra era una esfera en el centro del Universo. También reconoció que la órbita de la Luna estaba inclinada hacia el ecuador de la Tierra y fue uno de los primeros en darse cuenta de que Venus como estrella de la tarde era el mismo planeta que Venus como una estrella de la mañana.


Imagen de Pitágoras en la escuela de Atenas, retratada por Raphael

En primer lugar, sin embargo, Pitágoras era un filósofo. Además de sus creencias sobre los números, la geometría y la astronomía descritos anteriormente, sostuvo Heath.

La Sociedad de Pitágoras en Croton no se vio afectada por los acontecimientos políticos a pesar de su deseo de mantenerse al margen de la política. Pitágoras fue a Delos en 513 a.C. para cuidar a su viejo maestro Pherekydes, que estaba muriendo.

Permaneció allí durante unos meses hasta la muerte de su amigo y maestro y luego regresó a Croton. En 510 a.C., Croton atacó y derrotó a su vecino Sybaris y, sin duda, hay algunas sugerencias de que Pitágoras se involucró en la disputa. Luego, alrededor del 508 a. C., la sociedad pitagórica de Croton fue atacada por Cylon, un noble de Croton. Pitágoras escapó a Metapontium y la mayoría de los autores dicen que murió allí, y algunos afirman que se suicidó debido al ataque a su Sociedad.


Fuente: Escuela de Matemática de la Universidad de St Andrews, Escocia.


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